Question

若y=sin²x+2pcosx+q有最大值9和最小值3，求实数p，q的值．

Answer 1

分析：利用同角三角函数关系及换元法，可将函数y=sin²x+2pcosx+q的解析式化为y=-t²+2pt+q+1=-（t-p）²+p²+q+1，t∈[-1，1]，进而根据二次函数在定区间上最值问题，结合函数的最大值9和最小值3，分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到实数p，q的值．

解答：解：y=sin²x+2pcosx+q=-cos²x+2pcosx+q+1…（2分）
令cosx=t，t∈[-1，1]，则y=-t²+2pt+q+1=-（t-p）²+p²+q+1，y=-（t-p）²+p²+q+1的对称轴为t=p…（3分）
①当p＜-1时，函数y在t∈[-1，1]为减函数y_max=y|_t=-1=-2p+q=9，y_min=y|_t=1=2p+q=3，解得：p=-

3

2

，q=6…（5分）
②当p＞1时，函数y在t∈[-1，1]为增函数y_min=y|_t=-1=-2p+q=3，y_max=y|_t=1=2p+q=9，p=

3

2

，q=6…（7分）
③当-1≤p≤1时，y_max=y|_t=p=p²+q+1=9
（i）当-1≤p≤0时，y_min=y|_t=1=2p+q=3
解得：p=1±

6

，与-1≤p≤0矛盾；                    …（9分）
（ii）当0＜p≤1时，y_min=y|_t=-1=-2p+q=3
解得：p=±

6

-1，与0＜p≤1矛盾．…（11分）
综合上述：p=-

3

2

，q=6或p=

3

2

，q=6．…（12分）

点评：本题考查的知识点是余弦函数的值域，二次函数在闭区间上的最值，其中利用同角三角函数关系及换元法，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，是解答本题的关键．