Question

已知﹛a_n﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，S_n为它的前n项和．
（Ⅰ）当S₁，S₃，S₄成等差数列时，求q的值；
（Ⅱ）当S_m，S_n，S_l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a_m+k ，a_n+k，a_l+k也成等差数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，写出等比数列﹛a_n﹜的前n项和是解决本题的关键，利用S₁，S₃，S₄成等差数列寻找关于q的方程，通过解方程求出字母q的值；
（Ⅱ）根据S_m，S_n，S₁成等差数列，利用等比数列的求和公式得出关于q的方程式是解决本题的关键，注意分类讨论思想和整体思想的运用．

解答：解：（Ⅰ）由已知得出a_n=a₁q ^n-1，S₃=a₁+a₂+a₃=a₁（1+q+q²），S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=a₁（1+q+q²+q³），
根据S₁，S₃，S₄成等差数列得出2S₃=S₁+S₄，
代入整理并化简，约去q和a₁，得q²-q-1=0，
解得q=

1± 5

2

；
（Ⅱ）当q=1时，该数列为常数列，若S_m，S_n，S_l成等差数列，则也有a_m+k，a_n+k，a_1+k成等差数列；
若q≠1，由S_m，S_n，S₁成等差数列，则有2S_n=S₁+S_m，
即有

2a1(1-qn)

1-q

=

a1(1-qm)

1-q

+

a1(1-ql)

1-q

，
整理化简得2q^n-1=q^m-1+q^l-1，两边同乘以a₁，得2a₁q^n-1=a₁q^m-1+a₁q^l-1，即2a_n=a_m+a_l，
两边同乘以q^k即可得到2a_n+k=a_m+k+a_l+k，
即a_m+k ，a_n+k，a_l+k成等差数列．

点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查学生判断等差数列的方法，考查学生的方程思想和分类讨论思想，转化与化归思想，考查学生的运算能力．