Question

【题目】已知项数为的数列满足条件：①；②；若数列满足，则称为数列的“关联数列.

（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由；

（2）若数列存在“关联数列”，证明：；

（3）已知数列存在“关联数列”，且，，求数列项数m的最小值与最大值.

Answer 1

【答案】（1）存在关联数列：，10，9，8，7，理由见详解；（2）证明见详解；（3）m的最小值与最大值分别为和.

【解析】

（1）根据“关联数列”定义求解判断.

（2）根据“关联数列”定义结合数列的单调性讨论即可.

（3）根据数列和求“关联数列”的项的特征结合单调性分析出，根据 求解.

（1）因为，

所以数列1，5，9，13，17存在“关联数列”，10，9，8，7.

（2）因为数列存在“关联数列”，

所以，

所以，

所以为递减数列，

又因为，所以，

所以，

所以；

（3）因为数列存在“关联数列”，

所以任意，，

因为，

所以，

，

由（2）知，

又，

所以，

解得，因为，

所以，

所以m的最小值与最大值分别为和.