Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若a²、b²、c²成等差数列，则角B的最值及取最值时三角形面积为（　　）

• A．角B有最小值，此时s=

  1

  2

  a2
• B．角B有最大值，此时s=

  1

  2

  ac
• C．角B有最小值，此时s=

  3

  4

  b2
• D．角B有最大值，此时s=

  3

  4

  a2

Answer 1

分析：由等差数列的定义和性质可得2b²=a² +c² ，再由余弦定理可得 cosB=

a2+c2

4ac

，利用基本不等式可得cosB≥

1

2

，从而求得角B的最大值，并根据三角形的面积公式解之即可．

解答：解：由题意可得 2b²=a² +c² ，由余弦定理可得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2

4ac

≥

1

2

，当且仅当a=c时，等号成立．
又 0＜B＜π，∴0＜B≤

π

3

，即角B的最大值为

π

3

．
此时面积S=

1

2

acsin

π

3

=

3

4

a²
故选D．

点评：本题主要考查余弦定理、等差数列的定义和性质，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．