【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)证明:D1E⊥A1D;
(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
(3)AE等于何值时,二面角D1﹣EC﹣D的大小为 .
【答案】
(1)证明:分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴,建立如图的坐标系,则 ,
设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).
则 =(1.x,﹣1), ,
∴D1E⊥A1D;
(2)解:当E为AB的中点时,E(1,1,0), ,
设平面ACD1的法向量是 ,
求出 , ,
由 ,得
∵ =(1,1,﹣1)
由点到平面的距离公式,得 ,
∴点E到面ACD1的距离是 .
(3)解:设平面D1EC的法向量 =(a,b,c),
∴ =(1,x﹣2,0), =(0,2,﹣1), =(0,0,1).
由 .
令b=1,
∴c=2,a=2﹣x.∴ =(2﹣x,1,2).
依题意:cos = = ,
即 = ,
平方得(x﹣2)2= ,
∴ (不合题意,舍去), .
∴ 时,二面角D1﹣EC﹣D的大小为 .
【解析】(1)建立如图的坐标系,则 ,设E(1,t,0),则 ,通过向量的数量积为0,计算可得D1E⊥A1D;(2)当E为AB的中点时,E(1,1,0), ,求出平面ACD1的一个法向量,最后利用点到面的距离公式即可求点E到面ACD1的距离.(3)求出平面的法向量,利用二面角的夹角关系建立方程进行求解即可.
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=x2(x﹣a).
(1)若函数f(x)在区间 内是减函数,求实数a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值h(a).
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【题目】根据所学知识完成题目:
(1)若a、b、m、n∈R+ , 求证: ;
(2)利用(1)的结论,求下列问题:已知 ,求 的最小值,并求出此时x的值.
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【题目】满足不等式|x﹣A|<B(B>0,A∈R)的实数x的集合叫做A的B邻域,若a+b﹣2的a+b邻域是一个关于原点对称的区间,则 的取值范围是 .
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【题目】仙游某家具城生产某种家具每件成本为3万元,每件售价为x万元(x>3),月销量为t件,经验表明,t= +10(x﹣6)2 , 其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5万元时,月销量为11件.
(1)求a的值;
(2)求售价定为多少时,该家具的月利润最大,最大值为多少?
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【题目】已知关于x的不等式(kx﹣k2﹣4)(x﹣4)>0,其中k∈R;
(1)当k=4时,求上述不等式的解集;
(2)当上述不等式的解集为(﹣5,4)时,求k的值.
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