精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,在二面角M-l-N的一个M内有Rt△ABC,其中∠A=90°,顶点B、C在二面角的棱l上,AB、AC与平面N所成的角分别为α、β,若二面角M-l-N的大小为θ,则下面的关系式中正确的是(  )
分析:作AD⊥l于点D,作AE⊥平面N于点E,连结BE、CE、DE.证出∠ADE是二面角M-l-N的平面角,∠ABE、∠ACE分别为AB、AC与平面N所成的角,得∠ADE=θ、∠ABE=α且∠ACE=β.设AE=x,利用解三角形算出AB=
x
sinα
、AC=
x
sinβ
且AD=
x
sinθ
,在Rt△ABC中利用勾股定理与等积转换得到
1
AD2
=
1
AB2
+
1
AC2
,代入前面的数据化简整理即可得到
sin2α+sin2β=sin2θ,从而选出正确答案.
解答:解:作AD⊥l于点D,作AE⊥平面N于点E,连结BE、CE、DE
∵AE⊥平面N,∴DE是AD在平面N内的射影
∵AD⊥l,∴DE⊥l,
可得∠ADE就是二面角M-l-N的平面角,∠ADE=θ
又∵BE、CE分别是AB、AC在平面N的射影
∴∠ABE、∠ACE分别为AB、AC与平面N所成的角,得∠ABE=α且∠ACE=β
设AE=x,则Rt△ABE中,sinα=
AE
AB
,可得AB=
AE
sinα
=
x
sinα

同理得到AC=
x
sinβ
,AD=
x
sinθ

∵Rt△ABC中,AD为斜边BC边上的高
∴AD=
AB•AC
BC
,得
1
AD2
=
AB2+AC2
AB2•AC2
=
1
AB2
+
1
AC2

因此
sin2θ
x2
=
sin2α
x2
+
sin2β
x2
,化简得sin2α+sin2β=sin2θ
故选:B
点评:本题给出锐二面角,在一个半平面内有Rt△ABC,直角边AB、AC与另一个半平面所成角已知的情况下,探索这两个角与二面角大小之间的关系.着重考查了二面角的平面角的定义及求法、直线与平面所成角和解直角三角形等知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图:在二面角α-l-β中,A、B∈α,C、D∈l,ABCD为矩形,p∈β,PA⊥α,且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中点,
(1)求二面角α-l-β的大小
(2)求证:MN⊥AB
(3)求异面直线PA和MN所成角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:湖北省荆州中学2008高考复习立体几何基础题题库二(有详细答案)人教版 人教版 题型:044

如图,在二面角α-l-β中,A、B∈α,C、D∈l,ABCD为矩形,P∈β,PA⊥α,且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中点.

(1)求二面角α-l-β的大小;

(2)求证:MN⊥AB;

(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:学习高手必修二数学苏教版 苏教版 题型:044

如图,在二面角α-l-β中,A、B∈α,C、D∈l,ABCD为矩形,P∈β,PA⊥α且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中点.

(1)求二面角α-l-β的大小.

(2)求证:MN⊥AB.

(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在二面角M-l-N中,直角三角形ABC在面M内,斜边AB在棱l上,两直角边AC、BC与面N所成的角分别为α、β,二面角M-l-N的大小为θ.

求证:sin2α+sin2β=sin2θ.

查看答案和解析>>

同步练习册答案