Question

11．设a，b，c，d均为正数，且a+b=1，证明：
（Ⅰ）（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}{b}$）≥9；
（Ⅱ）（ac+bd）（bc+ad）≥cd．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将1=a+b代入，可得（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}{b}$）=（1+$\frac{a+b}{a}$）（1+$\frac{a+b}{b}$）=（1+1+$\frac{b}{a}$）（1+1+$\frac{a}{b}$），由三元均值不等式，即可得证；
（Ⅱ）a，b，c，d均为正数，则ac，bd，bc，ad也均为正数，即有（ac+bd）（bc+ad）=（（$\sqrt{ac}$）²+（$\sqrt{bd}$）²）（（$\sqrt{ad}$）²+（$\sqrt{bc}$）²），由柯西不等式，即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）∵a，b，c，d均为正数，且a+b=1，
∴（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}{b}$）=（1+$\frac{a+b}{a}$）（1+$\frac{a+b}{b}$）
=（1+1+$\frac{b}{a}$）（1+1+$\frac{a}{b}$）  
≥（3•$\root{3}{\frac{b}{a}}$）（3•$\root{3}{\frac{a}{b}}$）=9，
∴（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}{b}$）≥9；                 
（Ⅱ）∵a，b，c，d均为正数，∴ac，bd，bc，ad也均为正数，
∴（ac+bd）（bc+ad）=（（$\sqrt{ac}$）²+（$\sqrt{bd}$）²）（（$\sqrt{ad}$）²+（$\sqrt{bc}$）²）
≥（（$\sqrt{ac}$•$\sqrt{ad}$）+（$\sqrt{bd}$•$\sqrt{bc}$））²                            
=cd（a+b）²                                             
∵a+b=1，
∴（ac+bd）（bc+ad）≥cd．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和柯西不等式，考查推理能力，属于中档题．