Question

如图，垂直于矩形所在平面，，．

（1）求证：；
（2）若矩形的一个边,,则另一边的长为何值时，三棱锥的体积为？

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）当时，三棱锥的体积为.

试题分析：（1）要证面，只须在平面内找一条直线与平行，过点作的平行线交于点，连接，就是所要找的直线，这时只须充分利用题中的平行条件即可证明，从而问题得证；（2）由（1）的证明过程得到且，在中，先利用、确定，进一步算出，从而就确定了三棱锥的底面积，由题中的垂直条件易得平面，再由所给的体积及三棱锥的体积计算公式可求出的长度，问题得以解决.
试题解析：（1）过点作的平行线交于点，连接，则
四边形是平行四边形
且，又且
且
四边形也是平行四边形
，平面，面
面                    6分
（2）由（1）可知且面

在中，，，得且
由可得，从而得
因为，，所以平面
，而且
所以
综上，当时，三棱锥的体积为          12分.