Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的离心率为 ，直线y=x被椭圆C截得的线段长为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．设直线BD，AM斜率分别为k1 ， k2 ， 证明存在常数λ使得k1=λk2 ， 并求出λ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知，e= = ，a2﹣b2=c2，

则a2=4b2．

则椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2．

将y=x代入可得x=± a，

因此 a= ，解得a=2，则b=1．

∴椭圆C的方程为 +y2=1；

（Ⅱ）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），

则B（﹣x1，﹣y1）．

∵直线AB的斜率kAB= ，

又AB⊥AD，

∴直线AD的斜率kAD=﹣ ．

设AD方程为y=kx+m，

由题意知k≠0，m≠0．

联立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．

∴x1+x2=﹣ ．

因此y1+y2=k（x1+x2）+2m= ．

由题意可得k1= =﹣ = ．

∴直线BD的方程为y+y1= （x+x1）．

令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．

可得k2=﹣ ．

∴k1=﹣ k2，即λ=﹣ ．

因此存在常数λ=﹣ 使得结论成立

【解析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值．