Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥AB，PA⊥AD，且PA=AB=a，求异面直线PD与AC所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：在正方形ABCD中，过D作DE∥AC，交BC延长线于E，连接AE，PE，则∠PDE或补角即为异面直线PD与AC所成的角，运用线面垂直的性质求出三角形PDE三边的长，再由余弦定理，即可得到．

解答： 解：在正方形ABCD中，过D作DE∥AC，交BC延长线于E，连接AE，PE，
则∠PDE或补角即为异面直线PD与AC所成的角，
由于PA⊥AB，PA⊥AD，则PA⊥平面ABCD，PA⊥AE，
则PD=

2

a，DE=AC=

2

a，AE=

a2+4a2

=

5

a，
PE=

a2+5a2

=

6

a，
在三角形PDE中，cos∠PDE=

2a2+2a2-6a2

2 2 a• 2 a

=-

1

2

，
则∠PDE=120°，
即有异面直线PD与AC所成的角为60°．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系和空间异面直线所成角的求法，考查蕴算能力，属于中档题．