Question

已知函数f（x）=|lgx|．若f（a）=f（b）且a≠b，则a+b的取值范围是

（2，+∞）

．

Answer 1

分析：由a≠b，不妨令0，a＜b，又y=lgx是一个增函数，且f（a）=f（b），结合函数f（x）=|lgx|图象可得，0＜a＜1＜b，且lga=-lgb，再化简得到ab的积，最后利用基本不等式即可求解a+b的取值范围．

解答：解：∵f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，
不妨设0＜a＜b，结合函数f（x）=|lgx|图象，
则0＜a＜1＜b，
且lga=-lgb，lga+lgb=0
∴lg（ab）=0⇒ab=1，
又a＞0，b＞0，且a≠b
由基本不等式得：（a+b）²＞4ab=4
∴a+b＞2
∴a+b的取值范围是（2，+∞）．
故答案为（2，+∞）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．