Question

已知点A（0，1）、B（0，-1），P是一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为-

1

2

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M、N两点，△QMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtanMQN恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），可表示出直线PA，PB的斜率，根据题意直线PA、PB的斜率之积为-

1

2

建立等式求得x和y的关系式，即点P的轨迹方程．
（Ⅱ）设点M，N的坐标，当直线l垂直于x轴时，分别表示出

QM

和

QN

，进而可求得

QM

•

QN

；再看直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出

QM

•

QN

判断出其范围，综合求得

QM

•

QN

的最大值，根据S≤λtanMQN恒成立判断出

QM

•

QN

≤2λ恒成立．求得λ的最小值．

解答：解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），则直线PA，PB的斜率分别是

y-1

x

，

y+1

x

．
由条件得

y-1

x

•

y+1

x

=-

1

2

．
即

x2

2

+y2=1(x≠0)．
所以动点P的轨迹C的方程为

x2

2

+y2=1(x≠0)．
（Ⅱ）设点M，N的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
当直线l垂直于x轴时，x1=x2=-1，y1=-y2，

y

2 1

=

1

2

．
所以

QM

=(x1-2，y1)，

QN

=(x2-2，y2)=(x1-2，-y1)．
所以

QM

•

QN

=(x1-2)2-

y

2 1

=

17

2

．
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x+1），
由

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
所以x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．
所以

QM

•

QN

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2 ．
因为y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
所以

QM

•

QN

=(k2+1)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+4=

17

2

-

13

2(1+2k2)

＜

17

2

．
综上所述

QM

•

QN

的最大值是

17

2

．
因为S≤λtanMQN恒成立，
即

1

2

|

QM

|•|

QN

|sinMQN≤λ

sinMQN

cosMQN

恒成立．
由于

QM

•

QN

=

17

2

-

13

2(1+2k2)

＞0．
所以cosMQN＞0．
所以

QM

•

QN

≤2λ恒成立．
所以λ的最小值为

17

4

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了知识的综合运用，分析推理和基本的运算能力．