Question

已知函数y=f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=3^x-1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（-8）=

 

Answer 1

分析：本题属于小题综合，应用到函数的奇偶性和反函数的求法，运用求反函数的方法先求出反函数g（x），然后代入即可．

解答：解：法一：当x＜0时，-x＞0，由已知f（-x）=3^-x-1．
又∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即-f（x）=3^-x-1．
∴f（x）=1-3^-x．
∴f（x）=

3x-1 1-3-x

x≥0 x＜0.

∴f^-1（x）=

log3(x+1)      x≥0 -log3(1-x)    x＜0.

∴f^-1（-8）=g（-8）=-log₃（1+8）=-log₃3²=-2．
法二：当x＜0时，-x＞0，由已知f（-x）=3^-x-1．
又∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即-f（x）=3^-x-1．
∴f（x）=1-3^-x．根据反函数定义
令1-3^-x=-8 得 x=-2，即：g（-8）=-2
答案为：-2

点评：这里提供的解法一是常规方法，表现为思路清晰易找，推理严谨易懂，但较为繁琐．
解法二直接利用了反函数的函数值与原函数的自变量的值之间的互换特点解决，简捷明了，简单易行．