Question

11．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C与截面DBC₁交于O点，AC，BD交于M点．
（1）求证：A、M、A₁、C₁四点共面；
（2）求证：C₁、O、M三点共线．

Answer 1

分析 （1）由A₁C₁∥AM，能证明A、M、A₁、C₁四点共面
（2）推导出C₁、M、O都是平面A₁ACC₁和平面DBC₁的公共点，由此能证明C₁，O，M三点共线．

解答 证明：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁C与截面DBC₁交于O点，AC，BD交于M点，
∴A₁C₁∥AM，
∴A、M、A₁、C₁四点共面
（2）证明：∵C₁∈平面A₁ACC₁，且C₁∈平面DBC₁，
∴C₁是平面A₁ACC₁与平面DBC₁的公共点．
又∵M∈AC，∴M∈平面A₁ACC₁．
∵M∈BD，∴M∈平面DBC₁，
∴M也是平面A₁ACC₁与平面DBC₁的公共点，
∴C₁M是平面A₁ACC₁与平面DBC₁的交线．
∵O为 A₁C与截面DBC₁的交点，
∴O∈平面A₁ACC₁，O∈平面DBC₁，
即O也是两平面的公共点，
∴O∈直线C₁M，即C₁，O，M三点共线．

点评 本题考查四点共面的证明，考查三点共线的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．