Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}+a，（x＞2）}\\{-{x}^{2}+2ax，（x≤2）}\\{\;}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂），则实数a的取值范围是（-∞，2）∪（$\frac{13}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 依题意，x＞2时，f（x）递增，考虑x≤2时，函数的单调性，即可求得结论．

解答 解：依题意，x＞2时，f（x）递增，
分情况讨论：
①x≤2时，f（x）=-x²+2ax不是单调的，
对称轴为x=a，则a＜2；
②x≤2时，f（x）=-x²+2ax是单调递增，但f（x）在R上不单调．
即有a≥2且a+9＜-4+4a，解得a＞$\frac{13}{3}$．
综合得：a的取值范围是（-∞，2）∪（$\frac{13}{3}$，+∞）．
故答案为：（-∞，2）∪（$\frac{13}{3}$，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性，注意运用指数函数和二次函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．