如图,,是抛物线(为正常数)上的两个动点,直线AB与x轴交于点P,与y轴交于点Q,且
(Ⅰ)求证:直线AB过抛物线C的焦点;
(Ⅱ)是否存在直线AB,使得若存在,求出直线AB的方程;若不存在,请说明理由。
(1)先求解直线AB的方程,来分析过定点。(2)直线方程为
解析试题分析:(Ⅰ)由题意知,直线的斜率存在,且不为零.
设直线的方程为: (,)
由,得.∴,
∴.
∵,∴,∵,∴.
∴直线的方程为:.
抛物线的焦点坐标为,∴直线过抛物线C的焦点.
(Ⅱ)假设存在直线,使得, 即.
作轴,轴,垂足为、,
∴
∵,
∴==.
由,得.
故存在直线,使得.直线方程为.
考点:本试题考查了直线与抛物线的关系运用。
点评:解决直线与抛物线的位置关系的运用问题,一般都要考查了抛物线的定义的运用,即抛物线上点到焦点的距离等于对其到准线的距离来解答,同时直线与抛物线的位置关系,也要结合设而不求的联立方程组的思想,结合韦达定理得到根与系数的关系,进而得到证明的结论,属于难度试题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分10分)在直角坐标平面内,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,直线的参数方程是(为参数)。
求极点在直线上的射影点的极坐标;
若、分别为曲线、直线上的动点,求的最小值。
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(本小题满分13分)已知函数(其中且为常数)的图像经过点A、B.是函数图像上的点,是正半轴上的点.
(1) 求的解析式;
(2) 设为坐标原点,是一系列正三角形,记它们的边长是,求数列的通项公式;
(3) 在(2)的条件下,数列满足,记的前项和为,证明:。
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(本题15分)已知点是椭圆E:()上一点,F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设A、B是椭圆E上两个动点,().求证:直线AB的斜率为定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当△PAB面积取得最大值时,求λ的值.
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(本小题满分12分)
如图椭圆:的两个焦点为、和顶点、构成面积为32的正方形.
(1)求此时椭圆的方程;
(2)设斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、、为的中点,且. 问:、两点能否关于直线对称. 若能,求出的取值范围;若不能,请说明理由.
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(本小题14分)抛物线与直线相交于两点,且
(1)求的值。
(2)在抛物线上是否存在点,使得的重心恰为抛物线的焦点,若存在,求点的坐标,若不存在,请说明理由。
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(本小题满分12分)
已知椭圆C中心在原点,焦点在轴上,一条经过点且倾斜角余弦值为的直线交椭圆于A,B两点,交轴于M点,又.
(1)求直线的方程;
(2)求椭圆C长轴的取值范围。
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(本小题满分12分)
已知椭圆C :经过点离心率为。
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C相交于A、B两点,以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点。求O到直线l的距离的最小值。
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(本题12分)直线l:y=kx+1与双曲线C:的右支交于不同的两点A,B
(Ⅰ)求实数k的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
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