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已知f(x)=
4+
1
x2
,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an
1
an+1
)(n∈N*)在曲线y=f(x)上,且a1=1,an>0.
(1)求数列{an}的通项公式an
(2)数列{bn}的首项b1=1,前n项和为Tn,且
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3
,求数列{bn}的通项公式bn
分析:(1)点Pn(an
1
an+1
)(n∈N*)在曲线y=f(x)上,代入f(x)的解析式化简可得数列{
1
an2
}是等差数列,根据首项与公差写出数列{
1
an2
}的通项公式,根据且a1=1,an>0,即可得到数列{an}的通项公式an
(2)把(1)中求出的数列的通项公式代入
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3
中,化简后得到
Tn+1
4n+1
-
Tn
4n-3
=1
,设
Tn
4n-3
=cn
,则上式变为cn+1-cn=1,得到{cn}是等差数列.求出{cn}的通项公式,
代入即可求得Tn的通项公式,然后利用bn=Tn-Tn-1即可得到数列{bn}的通项公式.
解答:解:(1)由题意知
1
an+1
=
4+
1
an2

1
an+12
=4+
1
an2

1
an+12
-
1
an2
=4
,即{
1
an2
}是等差数列.
1
an2
=
1
a12
+4(n-1)=1+4n-4=4n-3.
an2=
1
4n-3

又∵an>0,
an=
1
4n-3

(2)由题设知(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n+1)(4n-3).
Tn+1
4n+1
-
Tn
4n-3
=1

Tn
4n-3
=cn
,则上式变为cn+1-cn=1.
∴{cn}是等差数列.
∴cn=c1+n-1=
T1
1
+n-1=b1+n-1=n.
Tn
4n-3
=n
,即Tn=n(4n-3)=4n2-3n.
∴当n=1时,bn=T1=1;
当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=4n2-3n-4(n-1)2+3(n-1)=8n-7.
经验证n=1时也适合上式.
∴bn=8n-7(n∈N*).
点评:此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值,会确定一个数列为等差数列,是一道综合题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=
2x-1  ,(x≥2)
-x2+3x ,(x<2)
,则f(-1)+f(4)的值为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•乐山二模)已知f(x)=-
4+
1
x2
,点Pn(an,-
1
an+1
)
在曲线y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0.
(Ⅰ)求证:数列{
1
a
2
n
}
为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{
a
2
n
a
2
n+1
}
的前n项和为Sn,若对于任意的n∈N*,存在正整数t,使得Snt2-t-
1
2
恒成立,求最小正整数t的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知tan(x+
π
4
)=
1+tanx
1-tanx
(x≠kπ+
π
4
)
,那么函数y=tanx的周期为π.类比可推出:已知x∈R且f(x+π)=
1+f(x)
1-f(x)
,那么函数y=f(x)的周期是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=
4•2010x+2
2010x+1
+xcosx(-1≤x≤1)
,设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=-
4+
1
x2
,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,-
1
an+1
)
在曲线y=f(x)上(n∈N*),且a1=1,an>0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn]的前n项和为Tn,且满足
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3
,b1=1,求证:数列{
Tn
4n-3
}
是等差数列,并求数列{bn]的通项公式.

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