Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量$\overrightarrow{m}$=（-cosB，sinC），$\overrightarrow{n}$=（-cosC，-sinB），且$\overrightarrow{m}$*$\overrightarrow{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=5，△ABC的面积S=1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算化简已知可得cosA=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合A的范围即可得解．
（2）由（1）可得sinA，利用三角形面积公式可求bc=4，又b+c=5，由余弦定理即可解得a的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（-cosB）（-cosC）+sinC×（-sinB）=cos（B+C）=-cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴cosA=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{5π}{6}$．
（2）∵由（1）可得A=$\frac{5π}{6}$，可求sinA=$\frac{1}{2}$，
∴△ABC的面积S=1=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×bc×\frac{1}{2}$，解得：bc=4．
∵b+c=5，
∴由余弦定理可得：a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{（b+c）^{2}-2bc+\sqrt{3}bc}$=$\sqrt{25-8+4\sqrt{3}}$=$\sqrt{17+4\sqrt{3}}$．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角形面积公式，余弦定理的综合应用，考查了计算能力，属于中档题．