Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=

2

，cosC=

3

4

．
（Ⅰ）求sin（A+B）的值；
（Ⅱ）求sinA的值；
（Ⅲ）求

CB

•

CA

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据三角形的内角和定理和诱导公式得到要求的式子sin（A+B）=sinC，可根据cosC的值和范围利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值即可得到sin（A+B）的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出的sinC和已知条件a=1，c=

2

利用正弦定理即可求出sinA；
（Ⅲ）根据向量的数量积的法则

CB

•

CA

=|

CB

|×|

CA

|×cosC即要求b的值，利用余弦定理和已知的cosC，a和c的值即可求出c，代入即可求出向量的数量积．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，A+B=π-C，
∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC．
又∵cosC=

3

4

，∴0＜C＜

π

2

，
∴sinC=

1-cos2C

=

7

4

．
∴sin(A+B)=

7

4

．
（Ⅱ）由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，
∴sinA=

asinC

c

=

1× 7 4

2

=

14

8

．
（Ⅲ）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
∴(

2

)2=12+b2-2×1×b×

3

4

，即2b²-3b-2=0．
解得b=2或b=-

1

2

（舍）．
∴

CB

•

CA

=|

CB

|×|

CA

|×cosC=1×2×

3

4

=

3

2

．

点评：此题是一道中档题，要求学生灵活运用正弦、余弦定理解决实际问题，会利用同角三角函数间的基本关系化简求值，掌握向量的数量积的法则．