Question

17．定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a^x为一个“λ一半随函数；③“$\frac{1}{2}$一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x²是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用新定义“λ的相关函数”，对①②③④逐个判断即可得到答案．

解答 解：①、若f（x）为“1一半随函数”，则f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=-f（x），
可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正确；
②、假设f（x）=a^x是一个“λ一半随函数”，则a^x+λ+λa^x=0对任意实数x成立，
则有a^λ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=a^x是“λ一半随函数”，故②正确．
③、令x=0，得f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（0）=0．所以f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$f（0），
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（$\frac{1}{2}$）•f（0）=-$\frac{1}{2}$（f（0））²＜0，
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上必有实数根，
因此任意的“-$\frac{1}{2}$一半随函数”必有根，即任意“-$\frac{1}{2}$一半随函数”至少有一个零点．故③正确．
④、假设f（x）=x²是一个“λ一半随函数”，则（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“λ-同伴函数”．故④错误
正确判断：①②③．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ-同伴函数的定义，是解答本题的关键．