Question

17．已知函数f（x）=|2^x-1|，g（x）=x²-（2+3k）x+2k+1，若函数y=g[f（x）]有3个不同零点，则k的范围是（　　）

• A． k=-$\frac{1}{2}$或k＞0
• B． -$\frac{1}{2}$＜k＜0或k＞0
• C． k≥-$\frac{1}{2}$
• D． k≥0

Answer 1

分析 作函数f（x）=|2^x-1|的图象，从而可得g（x）有两个不同的零点，且其中一个必在区间（0，1）上，另一个零点为0或≥1；从而解得．

解答 解：作函数f（x）=|2^x-1|的图象如下，
，
∵函数y=g[f（x）]有3个不同零点，
∴g（x）=x²-（2+3k）x+2k+1有两个不同的零点，且其中一个必在区间（0，1）上，另一个零点为0或≥1；
若g（0）=0，则k=-$\frac{1}{2}$，
则此时g（x）的零点为0和$\frac{1}{2}$，成立；
若g（x）=x²-（2+3k）x+2k+1的零点分别在（0，1）上与[1，+∞）上；
则$\left\{\begin{array}{l}{△=（2+3k）^{2}-4（2k+1）＞0}\\{g（1）=1-2-3k+2k+1＜0}\\{g（0）=2k+1＞0}\end{array}\right.$，
解得，k＞0，
综上所述，k=-$\frac{1}{2}$或k＞0，
故选A．

点评 本题考查了函数的零点的个数的判断与应用，同时考查了数形结合的思想与分类讨论的思想应用．