Question

【题目】如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为 ．

（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．

∵DB⊥平面ABC，DB面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．

取AB的中点O，连结OC，OD．

∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，

根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，

∴OD是CD在平面ABDE上的射影，

∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．

∴sin∠CDO= ，而OC= ，

∴CD=2 ，∴BD=2．

取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0）， ，

取BC的中点为G，则G（ ， ，0），则AG⊥面BCD，因为 ，

所以 ，所以EF⊥面DBC．

（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，

又 ，

取平面DEC的一个法向量

设平面BCE的一个法向量 ，则

又 ，

所以 ，令x=1，则y= ，z=2 ．

由此得平面BCE的一个法向量 ．

则 ，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为 ．

【解析】1、根据题意作出辅助线：取AB的中点O，连结OC，OD．利用直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC，再由已知△ABC是等边三角形，可得OC⊥AB，利用线面垂直的性质定理可得OC⊥面ABD，∠CDO即是CD与平面ABDE所成角，进而求出CD=2 ，BD=2.建立如图空间直角坐标系，根据向量的线性运算可得证， E F ∥ A G 故EF⊥面DBC。
2、在建立如图空间直角坐标系内取平面DEC的一个法向量 ，设平面BCE的一个法向量 ,根据向量的垂直关系，令x=1，则y= ，z=2 ，由此得平面BCE的一个法向量 = ( 1 ， ， 2 ) ，利用数量积的运算公式求出c o s < ， >的值。
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．