Question

设△ABC的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知

a

sinA

=

3 b

cosB

．
（I）求角B的大小；
（II）若cos（B+C）+

3

sinA=2，且bc=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理化简已知的等式，利用同角三角函数间的基本关系变形后，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由三角形的内角和定理及诱导公式化简cos（B+C）+

3

sinA=2，利用两角和与差的正弦函数公式变形后，求出sin（A-

π

6

）的值，由A的为三角形的内角，求出A-

π

6

的范围，利用特殊角的三角函数值列出关于A的方程，求出方程的解得到A的度数，再由bc的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（I）在△ABC中，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

化简已知的等式得：

b

sinB

=

3 b

cosB

，即tanB=

3

3

，
∵B为三角形的内角，
∴B=

π

6

；
（II）在△ABC中，B+C=π-A，
∴cos（B+C）+

3

sinA=-cosA+

3

sinA=2sin（A-

π

6

），
由题意得：2sin（A-

π

6

）=2，即sin（A-

π

6

）=1，
∵-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

2

，即A=

2π

3

，又bc=4，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×sin

2π

3

=

3

．

点评：此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．