Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形MEBF是平行四边形，且BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；
（2）连接BD，由∵∠BAD=45°，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，F为AB的中点，可得DF⊥AB，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DF，结合线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB．

解答 证明：（1）取PD的中点M，
∵E是PC的中点，
∴ME是△PCD的中位线，
∴ME∥FB，
∴四边形MEBF是平行四边形，
∴BE∥MF，
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（2）连接BD，
∵∠BAD=45°，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，F为AB的中点，
∴DF⊥AB，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DF，
又由PA∩AB=A，
∴DF⊥平面PAB，
又∵DF?平面PDF，
∴平面PDF⊥平面PAB．

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得BE∥MF，（2）的关键是证明DF⊥平面PAB．