Question

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-

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与x=1时都取得极值
（1）求a，b的值及f（x）的单调区间
（2）若对x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数在极值点处，其导数的值为零．因此可以列出

f/(- 1 3 )=0 f/(1)=0

，解方程组可得a，b的值，得到表达式，最后根据所得表达式，讨论导数的符号，可得函数f（x）的单调区间；
（2）在（1）的条件下，求出函数f（x）在闭区间[-1，2]上的最大值，这个最大值应该小于c²，最后解不等式，可得c的取值范围．

解答：解：（1）求导数，得f′（x）=3x²+2ax+b
∵在x=-

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与x=1时，函数取得极值
∴

f/(- 1 3 )= 1 3 - 2a 3 +b=0  f/(1)=3+2a+b=0

⇒

a=-1 b=-1

∴f（x）=x³-x²-x+c，其导数为f′（x）=3x²-2x-1
当x＜-

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或x＞1时，f′（x）＞0，函数为增函数；
而当-

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＜x＜1时，f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数f（x）的增区间为（-∞，-

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）和（1，+∞）；减区间为（-

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，1）
（2）∵对x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，
∴f（x）在区间[-1，2]上的最大值小于右边c²
根据（1）的单调性，可得f（x）的最大值是f（-

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）、f（2）中的较大值
∵f（-

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）=

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+c＜f（2）=2+c
∴f（x）的最大值是2+c
因此2+c＜c²恒成立，解之得c＜-1或c＞2
∴c的取值范围为：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，函数在某点取得极值的条件等等知识点，属于中档题．