Question

16．设x₁，x₂是关于x的方程x²-2（k-1）+k²-4=0的两个实数根，设y=x₁²+x₂²，试求关于k的函数y=f（k）的解析式，并作出它的图象，指出其定义域和值域．

Answer 1

分析 根据一元二次方程根的个数与△的关系，可求出k的范围，得到函数y=f（k）的定义域，利用韦达定理可得函数y=f（k）的解析式，结合二次函数的图象和性质，可得函数的图象和值域．

解答 解：∵x₁，x₂是关于x的方程x²-2（k-1）+k²-4=0的两个实数根，
∴△=4（k-1）²-4（k²-4）=-8k+16≥0，
解得：k≤2，
又∵x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²-4，
∴y=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=2k²-8k+12，
故函数y=f（k）的解析式为y=2k²-8k+12，k≤2，
其图象如下图所示：

其定义域为（-∞，2]，值域为[4，+∞）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．