Question

（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．
设为定义域为的函数，对任意，都满足：，，且当时，
（1）请指出在区间上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；
（2）试证明是周期函数，并求其在区间上的解析式．

Answer 1

略

解：（1）偶函数；.………………………………………………………………………1分
最大值为、最小值为0；.…………….……………………………………………………1分
单调递增区间：单调递减区间：；...…………………………………………1分
零点：．.…………………………..……………………………………………………1分
单调区间证明：
当时，
设，，

证明在区间上是递增函数
由于函数是单调递增函数，且恒成立，
所以，，

所以，在区间上是增函数．…………………………………………………….4分
证明在区间上是递减函数
【证法一】因为在区间上是偶函数．
对于任取的，，有

所以，在区间上是减函数．…………………………………………………..4分
【证法二】设，由在区间上是偶函数，得

以下用定义证明在区间上是递减函数………………………………………..4分
（2）设，，
所以，2是周期．        ……………………………………………………………4分
当时，，
所以………………………………………….4分