Question

已知椭圆的中心为原点O，一个焦点为F(

3

，0)，离心率为

3

2

．以原点为圆心的圆O与直线y=x+4

2

互相切，过原点的直线l与椭圆交于A，B两点，与圆O交于C，D两点．
（1）求椭圆和圆O的方程；
（2）线段CD恰好被椭圆三等分，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的焦点为F(

3

，0)，离心率为

3

2

，可得椭圆的几何量，从而可得椭圆的方程，利用以原点为圆心的圆O与直线y=x+4

2

相切，可得圆的半径，从而可圆的而发愁；
（2）设直线l的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得A，B的坐标，求出|AB|，利用线段CD恰好被椭圆三等分，建立方程，可得k的值，从而可求直线l的方程．

解答：解：（1）∵椭圆的焦点为F(

3

，0)，离心率为

3

2

，∴c=

3

，

c

a

=

3

2

∴a=2，b=

a2-c2

=1
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1
∵以原点为圆心的圆O与直线y=x+4

2

相切
∴圆O的半径为

4 2

2

=4
∴圆O的方程为x²+y²=16；
（2）设直线l的方程为y=kx，代入椭圆方程可得

x2

4

+(kx)2=1
∴x=±

4 4k2+1

，∴y=±k

4 4k2+1

∴A（

4 4k2+1

，k

4 4k2+1

），B（-

4 4k2+1

，-k

4 4k2+1

），
∴|AB|=

4 4k2+1 ×4(1+k2)

∵线段CD恰好被椭圆三等分，
∴

4 4k2+1 ×4(1+k2)

=

1

3

×8
∴

1 4k2+1 ×(1+k2)

=

2

3

，
∴k=±

35

7

∴直线l的方程为y=±

35

7

x．

点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．