Question

已知C：x²+y²=1和C₁：+=1 （a＞b＞0）．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C₁上任意一点P，均存在以P为顶点，与C外切，与C₁内接的平行四边形？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：利用PQRS是与C外切，与C₁内接的平行四边形，可得PQRS是菱形，于是OP⊥OQ，设出P，Q的坐标，在直角△POQ中，可得，利用点在曲线上，即可求得结论．
解答：解：设PQRS是与C外切，与C₁内接的平行四边形，则PQRS是菱形，于是OP⊥OQ

设P（r₁cosθ，r₁sinθ），Q（r₂cos（θ+90°），r₂sin（θ+90°）），
则在直角△POQ中，+=，即
∵=1，即
同理，，相加可得
反之，若成立，则取P（r₁cosθ，r₁sinθ），Q（r₂cos（θ+90°），r₂sin（θ+90°）），
可得即，，
∴
此时PQ与C₂相切，即存在满足条件的平行四边形．
点评：本题考查圆与椭圆知识的综合，考查学生的分析解决问题能力，考查计算能力，综合性强．