Question

已知点B（-1，0）、C（1，0），平面上的动点P满足|

CP

|•|

BC

|=

BP

•

BC

，记动点P的轨迹为曲线E．过点C作直线交曲线E于两点M、N，G为线段MN的中点，过点G作x轴的平行线与曲线E在点M处的切线交与点A．
（Ⅰ）求曲线E的方程．
（Ⅱ）试问点A是否恒在一条定直线上？证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出点P的坐标，利用题设等式建立等式整理气的曲线E的方程．
（Ⅱ）设出M，N的坐标，对抛物线方程进行求导，表示出点M处的切线AM的斜率，表示出直线AM的方程，设MN的方程与抛物线方程联立利用韦达定理表示出y₁+y₂，利用直线AG∥x轴，推断出AG的方程最后联立求得x=2m

x1

-x₁，同时把点A代入抛物线和直线方程整理求得x=-1，进而推断出对任意的m，点A的横坐标均为-1，即点A恒在直线x=-1上．

解答：解：（Ⅰ）设动点P（x，y），由|

CP

|•|

BC

|=

BP

•

BC

得2

(x-1)2+y2

=（x+1，y）•（2，0）
整理得y²=4x，所以曲线的方程为y²=4x．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由抛物线的对称性，不防设点M在x轴的上方，即y₁＞0
由y=2

x

，得y'=

1

x

，所以抛物线在点M处的切线AM的斜率k=

1

x1

，
所以直线AM的方程为y-y₁=

1

x1

（x-x₁）①
设直线MN的方程为x=my+1，由

x=my+1 y2=4x

得y²-4my-4=0
因为△=16m²+16＞0，所以y₁+y₂=4m，
所以MN的中点G（x₀，2m）
因为直线AG∥x轴，所以直线AG的方程为y=2m②，
由①②求得x=2m

x1

-x₁，
因为点在曲线E和直线MN上．所以y₁²=4x，且x₁=my₁+1
所以x=my₁-x₁=-1
所以对任意的m，点A的横坐标均为-1，
故点A恒在直线x=-1上．

点评：本题主要考查直线与直线，直线与抛物线的位置关系和抛物线的几何性质等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，考查了数形结合的思想，函数与方程的思想．