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以下四个命题
(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB,则
(2)设是两个非零向量且|=||||,则存在实数λ,使得
(3)方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个;
(4)a,b∈R且a3-3b>b3-3a则a>b;
其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3
D.4个
【答案】分析:①由正弦定理和bsinA=acosB知,sinB=cosB,可得角B的值;
②由于||=||||,可以得到两向量共线;
③由于函数在定义域上单调递增,得到x-sinx=0至多有一个解,
又知x=0 时,上式成立,得到方程只有这一个解;
④由不等式的性质,即可得到.
解答:解:①由正弦定理知,,即bsinA=asinB,
又由bsinA=acosB知,∴sinB=cosB,则,故①正确;
②由于||=||||,则cosθ=±1,
所以两向量共线,则存在实数λ,使得,故②正确;
③令f(x)=sinx-x,则f′(x)=1-cosx≥0恒成立,
所以x-sinx=0至多有一个解,
因为x=0 时,x-sinx=0,所以只有这一个解,故③正确;
④由于a3-3b>b3-3a,则a3-b3+3a-3b>0,
整理得(a-b)(a2+ab+b2+3)>0,即,所以a>b,
由于a>b,则a2+3>b2+3,故a(a2+3)>b(b2+3),整理得a3-3b>b3-3a,故④正确.
点评:本题考查的知识点是,判断命题真假,比较综合的考查了三角函数和不等式的一些性质,我们要对四个结论逐一进行判断,可以得到正确的结论.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

以下四个命题
(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB,则B=
π
4

(2)设
a
b
是两个非零向量且|
a
b
=|
a
||
b
|,则存在实数λ,使得
b
a

(3)方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个;
(4)a,b∈R且a3-3b>b3-3a则a>b;
其中正确的个数有(  )

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π
4

(2)设
a
b
是两个非零向量且|
a
b
=|
a
||
b
|,则存在实数λ,使得
b
a

(3)方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个;
(4)a,b∈R且a3-3b>b3-3a则a>b;
其中正确的个数有(  )
A.1个B.2个C.3D.4个

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(2)设是两个非零向量且|=||||,则存在实数λ,使得
(3)方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个;
(4)a,b∈R且a3-3b>b3-3a则a>b;
其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3
D.4个

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(3)方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个;
(4)a,b∈R且a3-3b>b3-3a则a>b;
其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3
D.4个

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