Question

10．已知函数$f（x）=sinx（cosx-\sqrt{3}sinx）$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）在x∈[0，π]上增区间．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=sinx（cosx-\sqrt{3}sinx）$=$sinxcosx-\sqrt{3}{sin^2}x$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，求得$2kπ-\frac{5π}{6}≤2x≤2kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$，
所以$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，即函数的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
又∵x∈[0，π]，∴函数f（x）在x∈[0，π]上的单调递增区间是$[0，\frac{π}{12}]$和$[\frac{7π}{12}，π]$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题．