【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , an是Sn和1的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn .
【答案】
(1)解:∵an是Sn和1的等差中项,
∴2an=Sn+1,2an﹣1=Sn﹣1+1(n≥2),
两式相减得:2an﹣2an﹣1=an,即an=2an﹣1,
又∵2a1=S1+1,即a1=1,
∴数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列,
∴an=2n﹣1
(2)解:由(1)可知Tn=120+221+322+…+n2n﹣1,
2Tn=121+222+…+(n﹣1)2n﹣1+n2n,
两式相减得:﹣Tn=1+21+22+…+2n﹣1﹣n2n
= ﹣n2n
=﹣1﹣(n﹣1)2n,
∴Tn=1+(n﹣1)2n
【解析】(1)通过等差中项的性质可知2an=Sn+1,并与2an﹣1=Sn﹣1+1(n≥2)作差,进而整理可知数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列,计算即得结论;(2)通过(1)可知Tn=120+221+322+…+n2n﹣1 , 进而利用错位相减法计算即得结论.
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=|2x﹣7|+1.
(1)求不等式f(x)≤x的解集;
(2)若存在x使不等式f(x)﹣2|x﹣1|≤a成立,求实数a的取值范围.
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【题目】如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(12分)
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
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【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,侧面ABB1A1是边长为2的正方形,点E,F分别在线段AA1、A1B1上,且AE= ,A1F= ,CE⊥EF.
(Ⅰ)证明:平面ABB1A1⊥平面ABC;
(Ⅱ)若CA⊥CB,求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.
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【题目】设{an}是等比数列,则下列结论中正确的是( )
A. 若a1=1,a5=4,则a3=﹣2
B. 若a1+a3>0,则a2+a4>0
C. 若a2>a1,则a3>a2
D. 若a2>a1>0,则a1+a3>2a2
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