Question

若a,b,c均为实数，且，，，
试用反证法证明：a，b，c中至少有一个大于0.

Answer 1

见解析.

利用反证法证明时，先否定结论，然后利用否定后的结论，结合已知的公理或者定理产生矛盾，说明假设不成立，原命题成立。设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝（x²－2y＋）＋（y²－2z＋）＋（z²－2x＋）
∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾。
(反证法)证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝（x²－2y＋）＋（y²－2z＋）＋（z²－2x＋）
＝（x²－2x）＋（y²－2y）＋（z²－2z）＋π＝（x－1）²＋（y－1）²＋（z－1）²＋π－3，
∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.