Question

如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；
（Ⅱ）已知数列{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足．若不等式对?n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题，通过分解因式，利用{a_n}为等差数列，设公差为d，求出d=0，说明{a_n}是常数列．
（Ⅱ）通过为首项为4，公差为2的等差数列，求出，由得b_n，利用错位相减法求出S_n，通过不等式，推出恒成立，由归纳法原理推出n≥4时，3k+1＜2^k，求出m的取值范围为m≤3．
解答：解：（Ⅰ）依题
⇒（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
又{a_n}为等差数列，设公差为d，
则
故{a_n}是常数列．（4分）
（Ⅱ）由{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列．
即为首项为4，公差为2的等差数列，（6分）
由得         ①
  ②
（10分）
不等式即3•2ⁿ-（n+3）＞m•2ⁿ-4n-4也即（m-3）•2ⁿ＜3n+1，即恒成立
由于n=1，2，3时，3n+1＞2ⁿ；n=4时，3n+1＜2ⁿ；
假设n=k（k≥4）时，3k+1＜2^k，
那么2^k+1=2•2^k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
由归纳法原理知：n≥4时，3k+1＜2^k，
所以⇒m-3≤0，
故m的取值范围为m≤3（14分）
点评：本题考查新定义的应用，数列特征的判断，数列求和的错位相减法的应用，转化思想，计算能力．