Question

3．已知函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$．
（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；
（Ⅱ）若2^t•f（2t）+f（t）≥0，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=2便可得到$2={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{|x|}}$，可讨论x≥0和x＜0这两种情况，从而可以去绝对值号，整理便可求出x的值；
（Ⅱ）先得到${2}^{t}（{2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2|t|}}）+{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{|t|}}≥0$，可看出t≤0时不等式成立，而t＞0时，便可整理得到（2^2t）²+2^2t-2≥0，可换元2^2t=x，x＞1，并设g（x）=x²+x-2，根据二次函数的单调性便可判断出g（x）＞0在（1，+∞）恒成立，这样便可得到实数t的取值范围为R．

解答 解：（Ⅰ）若f（x）=2，则：
①x≥0时，$2={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$；
解得${2}^{x}=1+\sqrt{2}$，或$1-\sqrt{2}$（舍去）；
∴$x=lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}）$；
②x＜0时，$2={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{-x}}=0$，显然不成立，这种情况不存在；
∴$x=lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}）$；
（Ⅱ）由2^t•f（2t）+f（t）≥0得，${2}^{t}（{2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2|t|}}）+{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{|t|}}≥0$；
显然，t≤0时，上面不等式恒成立；
若t＞0，上面不等式变成${2}^{t}（{2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2t}}）+{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}≥0$；
整理得（2^2t）²+2^2t-2≥0；
设2^2t=x，x＞1，g（x）=x²+x-2，x＞1；
g（x）在（1，+∞）上单调递增，且g（1）=0；
∴g（x）＞0；
即（2^2t）²+2^2t-2≥0恒成立；
综上得，实数t的取值范围为R．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，指数式和对数式的互化，指数式的运算，以及二次函数的单调性，根据单调性求值域．