Question

设等差数列{a_n}的首项a₁＞0且Sm=Sn（m≠n）．问：它的前多少项的和最大？

Answer 1

解：设等差数列{a_n}的公差为d，由Sm=Sn得
ma₁+d=na₁+d，
化简得：2（m-n）a₁+d[m²-n²-（m-n）]=0，
变形为：（m-n）[2a₁+d（m+n-1）]=0，
由m≠n，解得：d=-，
又a₁＞0，m+n-1＞0，得到d＜0，所以数列{a_n}为递减数列，
所以存在k∈N，使，即，
解得：＜k≤，
①当m，n一奇一偶时，k=，此时a_k==0，
所以数列{a_n}的前项和与前项和相等且最大；
②当m，n同奇偶时，k=，此时a_k=＞0，a_k+1=+1＜0，
所以数列{a_n}的前项和最大．
分析：设出等差数列的公差为d，利用等差数列的前n项和的公式分别表示出S_m和S_n，让两者相等，提取（m-n）后，即可得到d与首项的关系式，由首项大于0判断出公差d小于0，得到此数列为递减数列，所以存在第k项大于等于0，第k+1项小于0，列出不等式组，求出k的取值范围，分m与n一奇一偶和同奇偶两种情况考虑，分别求出和最大时的前多少项即可．
点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道综合题．