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如图,矩形ABCD中,AB=2AD=2,点p在以AB为直径的半圆上移动,若
AP
AD
,则λ+μ的最大值是(  )
A、
2
B、
2
+1
C、2
D、
5
+1
2
考点:平面向量数量积的运算
专题:计算题,三角函数的求值,平面向量及应用
分析:以A为坐标原点,AB,AD所在直线为x,y轴建立坐标系,分别求得A,B,D,设∠PAB=α(0≤α≤
π
2
),求得P的坐标,再由已知条件得到λ+μ=
1
2
+
2sin2α+cos2α
2
,运用两角和的正弦公式,化简结合正弦函数的值域即可得到最大值.
解答: 解:以A为坐标原点,AB,AD所在直线为x,y轴建立坐标系,
则B(2,0),D(0,1),A(0,0),
AB
=(2,0),
AD
=(0,1),
设∠PAB=α(0≤α≤
π
2
),
则P(2cosαcosα,2cosαsinα)即为
AP
=(1+cos2α,sin2α),
AP
AB
AD
,可得,
λ=
1+cos2α
2
,μ=sin2α,
即有λ+μ=
1
2
+
2sin2α+cos2α
2

=
1
2
+
5
2
sin(2α+θ),(tanθ=
1
2
,θ为锐角),
当且仅当2α+θ=
π
2
时,取得最大值,且为
1+
5
2

故选D.
点评:本题考查平面向量的坐标表示,考查三角函数的化简和求值,考察正弦函数的性质,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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已知直线l过点P(3,2).
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.

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已知x>0,y>0,x+y=1,n∈N*,求证:x2n+y2n
1
22n-1

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已知y=f(x)是偶函数,而y=f(x+1)是奇函数,且对任意0<x<1,都有f(x)=lnx+
1
x
,则a=f(
2009
4
),b=f(
2011
2
),c=f(
2013
5
)的大小关系是(  )
A、c<a<b
B、a<c<b
C、c<b<a
D、a<b<c

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随着经济社会的发展,消费者对食品安全的关注度越来越高,通过随机询问某地区110名居民在购买食品时是否看生产日期与保质期等内容,得到如下的列联表:
60岁以下60岁以上总计
看生产日期与保质期503080
不看生产日期与保质期102030
总计6050110
(1)从这50名60岁以上居民中按是否看生产日期与保质期采取分层抽样,抽取一个容量为5的样本,问样本中看与不看生产日期与保质期的60岁以上居民各有多少名?
(2)根据以上列联表,在犯错误的概率不超过1%的情况下,是否有把握认为“该地区居民的年龄与在购买食品时是否看生产日期与保质期”有关?

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如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图,现已知年龄  在[30,35),[35,40),[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列,则年龄在[35,40)的频(  )
A、0.04B、0.06
C、0.2D、0.3

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解决某一问题而设计的 (  ) 有限的步骤称为算法.
A、确定的B、有效的
C、连续的D、无穷的

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