Question

(本小题满分16分)
已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．

Answer 1

【解】（1）当时，；
当时，，
所以；
综上所述，．…………………3分
（2）当时，若存在p，r使成等差数列，则，
因为，所以，与数列为正数相矛盾，因此，当时不存在；…5分
当时，设，则，所以，……………7分
令，得，此时，，
所以，，
所以；
综上所述，当时，不存在p，r；当时，存在满足题设.
………………10分
（3）作如下构造：，其中，
它们依次为数列中的第项，第项，第项…12分
显然它们成等比数列，且，，所以它们能组成三角形．
由的任意性，这样的三角形有无穷多个．…………………14分
下面用反证法证明其中任意两个三角形和不相似：
若三角形和相似，且，则，
整理得，所以，这与条件相矛盾，
因此，任意两个三角形不相似．故命题成立．……………………16分

略