考点:两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦
专题:三角函数的求值
分析:(1)由角的范围和二倍角的余弦公式可得cosα和sinα,再由同角三角函数的基本关系可得sin(α-β)的值,进而可得cosβ,可得β的值;
(2)由角的范围和同角三角函数的基本关系可得cos(2α-β)和cosβ,进而可得cos2α的值,由1-2sin2α=cos2α结合α的范围,解关于sinα的方程可得.
解答:
解:(1)∵0<β<α<
,∴0<α-β<
,
∵cos2α=2cos
2α-1=1-2sin
2α=-
,
∴cosα=
,sinα=
,
又∵cos(α-β)=
,
∴sin(α-β)=
=
,
∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=
×+
×=
,又0<β<
可得β=
;
(2)∵α∈(
,π),β∈(-
,0),∴2α-β∈(π,
),
又∵sin(2α-β)=
,∴2α-β∈(2π,
),
∴cos(2α-β)=
=
,
∵sinβ=-
,β∈(-
,0),∴cosβ=
=
,
∴cos2α=cos[(2α-β)+β]
=cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ
=
×-×(-)=
,
又cos2α=1-2sin
2α,∴1-2sin
2α=
,
又α∈(
,π),∴sinα>0,∴sinα=
点评:本题考查两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式,属中档题.