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(本题满分12分)给定椭圆,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程.
(Ⅱ)点是椭圆的“准圆”上的一个动点,过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点,且分别交其“准圆”于点,求证:为定值.
(Ⅰ)
(Ⅱ)根据斜率情况进行分类讨论,分别证明知直线垂直,从而=4
解:(Ⅰ)椭圆方程为……2分
准圆方程为。                                   …………3分
(Ⅱ)①当中有一条无斜率时,不妨设无斜率,因为与椭圆只有一个公共点,则其方程为,当方程为时,此时与准圆交于点
此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是(或),
(或),显然直线垂直;
同理可证方程为时,直线垂直.        …………………………6分
②当都有斜率时,设点,其中.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
消去,得.
化简整理得:.…………………………8分
因为,所以有.
的斜率分别为,因为与椭圆只有一个公共点,
所以满足上述方程
所以,即垂直.                      …………………………10分
综合①②知:因为经过点,又分别交其准圆于点,且垂直,所以线段为准圆的直径,所以=4.       ………………………12分
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