Question

（Ⅰ）如图，正方形OABC在二阶矩阵M对应的切变变换作用下变为平行四边形OA′B′C′，平行四边形OA'B'C'在二阶矩阵N对应的旋转变换作用下变为平行四边形OA''B''C''，求将正方形OABC变为平行四边形OA''B''C''的变换对应的矩阵．
（Ⅱ）在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为

x=- 2 2 +rcosθ y=- 2 2 +rsinθ

（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

．写出圆心的极标，并求当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3．
（Ⅲ）已知a²+2b²+3c²=6，若存在实数a，b，c，使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设正方形OABC变为平行四边形OA''B''C''的变换对应的矩阵M=

a b c d

，由于点A（2，0）经矩阵M变换为A''（0，2），C（0，2）经矩阵M变换为C''（-2，2），列出 关于a，b，c，d 的方程式即可解得a，bc，d．从而写出变换对应的矩阵；
（Ⅱ）先写出圆心的极坐标(1，

5π

4

)和直线的方程，再利用直线与圆的位置关系即可求得圆O上的点到直线的最大距离；
（Ⅲ）先根据由柯西不等式得（a+2b+3c）²≤（a²+2b²+3c²）（1+2+3），得到不等关系|x+1|＜6最后解此绝对值不等式即得．

解答：（Ⅰ）解：设正方形OABC变为平行四边形OA''B''C''的变换对应的矩阵M=

a b c d

，
如图点A（2，0）经矩阵M变换为A''（0，2），C（0，2）经矩阵M变换为C''（-2，2），
所以

a b c d

2 0

=

0 2

，即

2a=0 2c=2.

（3分）

a b c d

0 2

=

-2 2

，即

2b=-2 2d=2.

（5分）
解得a=0，c=1，b=-1，d=1，
所以M=

0 1 -1 1

．（7分）
（Ⅱ）解：圆心的极坐标(1，

5π

4

)．（3分）
直线为x+y-1=0，
圆心O（-

2

2

，-

2

2

）到直线的距离为d=

|- 2 -1|

2

，（5分）
圆O上的点到直线的最大距离为

|- 2 -1|

2

+r=3，解得r=2-

2

2

．（7分）
（Ⅲ）由柯西不等式得（a+2b+3c）²≤（a²+2b²+3c²）（1+2+3），
当且仅当a=b=c=1时，等号成立．（3分）
故a+2b+3c的最大值为6，故|x+1|＜6，（5分）
解得{x|-7＜x＜5}．（7分）

点评：本题主要考查了二阶矩阵，几种特殊的矩阵变换、考查圆的参数方程、参数方程的概念、绝对值不等式的解法等基础知识，不等式的证明问题，其中涉及到柯西不等式的应用问题，有一定的技巧性，需要同学们柯西不等式非常熟练，属于中档题目．