Question

已知圆C：（x-1）²+y²=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B
（1）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
（3）设圆C与x轴交于M、N两点，有一动点Q使∠MQN=45°．试求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由已知中圆C的标准方程，我们易确定圆心C的坐标，进而得到直线PC的斜率，然后根据弦AB被点P平分，我们易得l与直线PC垂直，利用点斜式易求出满足条件的直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，由此我们可得到直线l的方程，代入点到直线距离公式，求出弦心距，然后根据弦心距，半弦长，半径构成直角三角形，满足勾股定理，得到弦AB的长．
（3）由圆C与x轴交于M、N两点，我们易求出M、N两点的坐标，然后根据动点Q使∠MQN=45°，构造关于动点（x，y）的方程，整理即可得到动点Q的轨迹方程．

解答：解（1）已知圆C：（x-1）²+y²=9的圆心为C（1，0），因直线过点P与PC垂直，所以直线l的斜率为-

1

2

，
直线l的方程为y-2=-

1

2

（x-2），即  x+2y-6=0．
（2）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2，即 x-y=0
圆心C到直线l的距离为

1

2

，圆的半径为3，弦AB的长为

34

．
（3）∵圆C与x轴交于M（-2，0），N（4.0）两点∴tan45°=|

kMQ-kNQ

1+kMQ×．kNQ

|．
1=|

y x+2 _ y x-4

1+ y x+2 × y x-4

|
1=|

-6y

x2-2x-8+y2

|
x²-2x-8+y²=6y或x²-2x-8=-6y∴Q点的轨迹方程是：（x-1）²+（y-3）²=18（y＞0），或（x-1）²+（y+3）²=18（y＜0）

点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，直线的一般式方程，轨迹方程，其中由于直线l过点P（2，2），故使用点斜式方程求解比较简便．