Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）若f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用周期公式求得函数的最小正周期．
利用x的范围，确定2x+

π

6

的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数f（x）在区间上的最大和最小值．
（2）利用f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求出cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，利用两角和与差的三角函数公式求值．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx-2sin2x+1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴当2x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

3

时函数有最大值，最大值为2；
当2x+

π

6

=

7π

6

时，即x=

π

2

时，函数有最小值为-1；
（2）f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，
则sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
所以cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，
cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=

3-4 3

10

．

点评：本题考查了三角函数解析式的化简与性质的运用，角的范围以及函数值的符号确定是容易出错的地方．