Question

已知向量

m

=(

3

sinωx，0)，

n

=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函数f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t的图象上，对称中心到对称轴的最小距离为

π

4

，且当x∈[0，

π

3

]时f（x）的最小值为

3

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若对任意x₁，x₂∈[0，

π

3

]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t的解析式，根据它的

1

4

周期等于

π

4

，求出ω的值，再根据当x∈[0，

π

3

]时f（x）的最小值为

3

2

，求出t的值，即可得到f（x）的解析式．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解出x的范围，即可得到单调递增区间．
（3）当x∈[0，

π

3

]时，求得f（x）的最大值为

9

2

，最小值为

3

2

，可得|f（x₁）-f（x₂）|的最大值为3，由此得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵

m

+

n

=(

3

sinωx+cosωx，-sinωx)，
∴f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t=

3

sinωx(

3

sinωx+cosωx)+t 
=3sin2ωx+

3

sinωxcosωx+t=

3(1-cos2ωx)

2

+

3

2

sin2ωx+t=

3

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx+

3

2

+t=

3

sin(2ωx-

π

3

)+

3

2

+t，
由题意可得

T

4

=

π

4

，∴ω=1． 
∵0≤x≤

π

3

，∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

π

3

．
 又f（x）的最小值为

3

2

=

3

×（-

3

2

）+

3

2

+t，
∴t=

3

2

，
故 f(x)=

3

sin(2x-

π

3

)+3．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，可得-

π

6

+2kπ≤2x≤

5π

6

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z，
即单调递增区间为：[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，k∈Z．
（3）当x∈[0，

π

3

]时，f（x）的最大值为 

3

×（

3

2

）+

3

2

+

3

2

=

9

2

，最小值为

3

2

，
∴|f（x₁）-f（x₂）|的最大值为

9

2

-

3

2

=3．
∵对任意x₁，x₂∈[0，

π

3

]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，
∴m＞3，即实数m的取值范围为（3，+∞）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的定义，正弦函数的定义域和值域、周期性及单调性的应用，属于中档题．