Question

设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=

3x

2

；
当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在P（3，4），且过点A（2，3）的抛物线的一部分
（1）求函数f（x）在（-∞，-2）上的解析式；
（2）在下面的直角坐标系中直接画出函数f（x）的图象，写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的性质，“当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在P（3，4），且过点A（2，3）的抛物线的一部分”，那么函数f（x）在（-∞，-2）上图象是顶点（-3，4）、过（-2，3）的抛物线的一部分，设顶点式即可求出解析式．
（2）画出函数图象，根据函数图象上升趋势的是单调增区间，下降趋势的是单调减区间．

解答：解：（1）因为函数是偶函数，
所以“当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在P（3，4），且过点A（2，3）的抛物线的一部分”，
那么函数f（x）在（-∞，-2）上图象是顶点（-3，4）、过（-2，3）的抛物线的一部分，
设函数的解析式是f（x）=a（x-h）²+b，
则根据条件有

h=-3 b=4 a(-2-h)2+b=3

，解得：

h=-3 b=4 a=-1

，
所以函数f（x）在（-∞，-2）上的解析式为f（x）=-（x+3）²+4=-x²-6x-5．
（2）图象如下图所示：

所以函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-3）和（0，3），单调减区间为：（-3，0）和（3，+∞）．

点评：本题主要考察二次函数的性质，解题关键是：①利用偶函数关于y轴对称得到关于（-∞，-2）上图象信息；②用待定系数法求函数的解析式．