Question

6．过双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与E的渐近线交于B，C两点，若$\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow 0$，则双曲线E的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\sqrt{3}$x
• B． y=±4x
• C． y=±$\sqrt{2}$x
• D． y=±2x

Answer 1

分析 分别表示出直线l和两个渐近线的交点，利用$\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow 0$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AB}$，求得a和b的关系，可得双曲线E的渐近线方程．

解答 解：直线l：y=-x+a与渐近线l₁：bx-ay=0交于B（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），
l与渐近线l₂：bx+ay=0交于C（$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，-$\frac{ab}{a-b}$），A（a，0），
∵$\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow 0$，∴$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AB}$
∴$\frac{{a}^{2}}{a-b}$-a=3（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$-a），
∴b=2a，
∴双曲线E的渐近线方程为y=±2x．
故选：D．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．