Question

如右图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱DD₁的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A₁B₁上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角的大小为（　　）

A．与点P的位置有关

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：虽然直线OP为动直线，但其在平面ADD₁A₁上的射影是不变的，依据三垂线定理，直线AM垂直于斜线在这个平面上的射影，就垂直于这条直线，从而发现AM恒与OP垂直．

解答：解：取AD中点N，则ON⊥平面ADD₁A₁，A₁N为OP在平面ADD₁A₁上的射影，
在正方形ADD₁A₁中，DM=AN，AD=AA₁，∴Rt△A₁NA≌Rt△AMD
∴AM⊥A₁N
由三垂线定理可知AM⊥OP

点评：本题考查了三垂线定理的运用，解题时要有较强的空间想象力，善于发现变化中的不变关系，将空间问题转化为平面问题解决