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    【题目】已知函数.

    （1）讨论函数的单调性；

    （2）对任意的，，，恒有，求实数的取值范围.

    【答案】（1）见解析；（2）.

    【解析】

    （1）对函数进行求导后得到，对分情况进行讨论：、、、；

    （2）由（1）知在上单调递减，不妨设，从而把不等式中的绝对值去掉得：，进而构造函数，把问题转化为恒成立问题，求得实数的取值范围。

    （1），

    当时，，所以在上单调递增；

    当时，或，，所以在，上单调递增；

    ，，所以在上单调递减.

    当时，或，，所以在，上单调递增；

    ，，所以在上单调递减.

    当时，，，所以在上单调递减；

    ，，所以在上单调递增.

    （2）因为，由（1）得，在上单调递减，不妨设，

    由得，

    即.

    令，

    ，只需恒成立，

    即恒成立，

    即，

    即.因为（当且仅当时取等号），

    所以实数的取值范围是.

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    【题目】下列图象中，可能是函数的图象的是( )

    A. B.

    C. D.

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    【题目】已知定义在上的函数和数列满足下列条件:，当且时，且，其中均为非零常数.

    （1）数列是等差数列，求的值；

    （2）令，若，求数列的通项公式；

    （3）证明:数列是等比数列的充要条件是.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随机发放了120分问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下列联表：

    做不到科学用眼

    能做到科学用眼

    合计

    男

    45

    10

    55

    女

    30

    15

    45

    合计

    75

    25

    100

    （1）现按女生是否能做到科学用眼进行分层，从45份女生问卷中抽取了6份问卷，从这6份问卷中再随机抽取3份，并记其中能做到科学用眼的问卷的份数，试求随机变量的分布列和数学期望；

    （2）若在犯错误的概率不超过的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的的值应为多少？请说明理由.

    附：独立性检验统计量，其中.

    独立性检验临界值表：

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    1.323

    2.072

    2.706

    3.840

    5.024

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中）

    平均温度

    21

    23

    25

    27

    29

    32

    35

    平均产卵数/个

    7

    11

    21

    24

    66

    115

    325

    27.429

    81.286

    3.612

    40.182

    147.714

    （1）根据散点图判断，与（其中自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）

    （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为.

    ①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率p.

    ②当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.

    附：线性回归方程系数公式.

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    【题目】设点P是直线上一点，过点P分别作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、 B为切点.

    （1）若点A的坐标为，求点P的横坐标；

    （2）直线AB是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

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    【题目】已知函数有两个极值点.

    （1）求的取值范围；

    （2）设，是的两个极值点，证明.

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    【题目】某大型商场去年国庆期间累计生成万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行统计得到下表：

    消费金额（单位：元）

    购物单张数

    25

    25

    30

    10

    10

    由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：

    （1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过元的概率；

    （2）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值元、元、元的奖品.已知中奖率为，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为.若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销.

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    【题目】某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：

    月份

    1

    2

    3

    4

    5

    销量（百台）

    0.6

    0.8

    1.2

    1.6

    1.8

    （1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量（百件）与月份之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；

    （2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：

    有购买意愿对应的月份

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    频数

    60

    80

    120

    130

    80

    30

    现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.

    参考公式与数据：线性回归方程，其中，.

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