Question

已知点F是抛物线C：y²=x的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=

5

4

．
（Ⅰ）求点S的坐标；
（Ⅱ）以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点；
①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；
②延长NM交x轴于点E，若|EM|=

1

3

|NE|，求cos∠MSN的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设S（x₀，y₀）（y₀＞0），由已知得F(

1

4

，0)，则|SF|=x0+

1

4

=

5

4

，x0=1，由此能求出点S的坐标．
（Ⅱ）①设直线SA的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），由

y-1=k(x-1) y2=x

，得ky²-y+1-k=0，所以M(

(1-k)2

k2

，

1

k

-1)．由已知SA=SB，知直线SB的斜率为-k，由此能导出直线MN的斜率为定值-

1

2

．
②设E（t，0），由|EM|=

1

3

|NE|，知k=2．所以直线SA的方程为y=2x-1，则A(

1

2

，0)，同理B(

3

2

，0)．由此能求出cos∠MSN的值．

解答：解：（Ⅰ）设S（x₀，y₀）（y₀＞0），由已知得F(

1

4

，0)，则|SF|=x0+

1

4

=

5

4

，x0=1，
∴y₀=1，∴点S的坐标是（1，1）------------------------（2分）
（Ⅱ）①设直线SA的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），
由

y-1=k(x-1) y2=x

得ky²-y+1-k=0，
∴y1+1=

1

k

，y1=

1

k

-1，∴M(

(1-k)2

k2

，

1

k

-1)．
由已知SA=SB，∴直线SB的斜率为-k，∴，
∴kMN=

1 k -1+ 1 k +1

(1-k)2 k2 - (1+k)2 k2

=-

1

2

--------------（7分）
②设E（t，0），∵|EM|=

1

3

|NE|，∴

EM

=

1

3

EN

，
∴(

(1-k)2

k2

-t，

1

k

-1)=

1

3

(

(1+k)2

k2

-t，-

1

k

-1)，则

1

k

-1=

1

3

(-

1

k

-1)，∴k=2----------------（8分）
∴直线SA的方程为y=2x-1，则A(

1

2

，0)，同理B(

3

2

，0)
∴cos∠MSN=cos∠ASB=

SA2+SB2-AB2

2SA•SB

=

3

5

---------------------------（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．